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幾種數(shù)學模型在管理決策中的簡單應(yīng)用

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更新時間： 2020年10月27日

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內(nèi)容摘要

由管理決策學理論的發(fā)展歷程，我們可以知道，數(shù)學是推動決策理論發(fā)展的重要支柱。并且，合適數(shù)學模型的建立是合理解決現(xiàn)實決策問題之關(guān)鍵。通過數(shù)學模型，能較準確地測定該模型內(nèi)各要素之間的數(shù)量關(guān)系，以供人們做出分析、預報、決策或者控制。本文通過列舉數(shù)學模型在管理決策領(lǐng)域中幾個方面的應(yīng)用，意在引起大家對數(shù)學模型的重視，以便保證最優(yōu)地解決經(jīng)濟管理領(lǐng)域中所反映的問題，做出較好的決策，創(chuàng)造出最大的經(jīng)濟效益。

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幾種數(shù)學模型在管理決策中的簡單應(yīng)用

由管理決策學理論的發(fā)展歷程，我們可以知道，數(shù)學是推動決策理論發(fā)展的重要支柱。并且，合適數(shù)學模型的建立是合理解決現(xiàn)實決策問題之關(guān)鍵。通過數(shù)學模型，能較準確地測定該模型內(nèi)各要素之間的數(shù)量關(guān)系，以供人們做出分析、預報、決策或者控制。本文通過列舉數(shù)學模型在管理決策領(lǐng)域中幾個方面的應(yīng)用，意在引起大家對數(shù)學模型的重視，以便保證最優(yōu)地解決經(jīng)濟管理領(lǐng)域中所反映的問題，做出較好的決策，創(chuàng)造出最大的經(jīng)濟效益。

一、模型介紹

（一）、利用期望值解決風險型決策問題

處理風險型決策問題，簡易可行的方法是利用期望收益最大的原則進行方案選擇。即進行備選方案的收益（或損失）比較，選擇收益（或損失）最大（最?。┑姆桨浮嵗缦?，
設(shè)某一風險型決策問題的收益表如下
備選方案	狀態(tài)1（P1=0.3）	狀態(tài)2(P2=0.7)
A	10000	15000
B	0	30000
則有：  E(A)=10000*0.3+15000*0.7=3000+10500=13500
E(B)=0*0.3    +30000*0.7=0   +21000=21000
所以，我們根據(jù)期望收益最大原則選擇方案B。

（二）、利用極值存在條件求最大利潤的產(chǎn)出水平

生產(chǎn)經(jīng)營者要根據(jù)成本情況和銷售情況確定最佳產(chǎn)量，取得最大利潤。因此，選取簡單易行的數(shù)學模型就顯得很有必要。而利用極值存在的必要條件和充分條件求解最大利潤的產(chǎn)量則是一個常用的方法。
實例如下，
設(shè)某一產(chǎn)商生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本幾乎可以忽略不計，邊際成本與邊際收益函數(shù)分別為：
 
又極值存在的必要條件，可知MC=MR，解得 ，
所以取

（三）、利用shapley值法建立收益合理分配模型

n個人從事某項經(jīng)濟活動，對于他們之中若干人組合的每一種合作，都會得到一定的效益。當人們之間的利益是非對抗性時，合作中人數(shù)的增加不會引起效益的減少。這樣，全體n個人的合作將帶來最大效益，n個人的集體及各種合作的效益就構(gòu)成n個合作對策。Shapley值是分配這個最大效益的一種方案。
1、shapley值定理的描述。
設(shè) 是 人合作對策，則存在唯一的一組shapley值：
 
 表示第 個伙伴企業(yè)從聯(lián)盟整體中分配到的利益;  表示包含有伙伴企業(yè) 的一切聯(lián)盟； 表示聯(lián)盟 的規(guī)模，即 中所含企業(yè)的數(shù)量； 表示聯(lián)盟 的利益； 表示聯(lián)盟 中如果沒有企業(yè) 參加時的利益;顯然，可以注意到：表示聯(lián)盟S中有 參加的利益與沒有 參加的利益差值，即表示伙伴企業(yè) 對聯(lián)盟 的貢獻。把伙伴企業(yè) 對它所參加的聯(lián)盟的所有貢獻加起來便得到伙伴企業(yè) 所應(yīng)分得的利潤。把這樣一種利潤分配方法稱為Shapley值利益分配法。
2、實例分析
舉例如下：甲乙丙三人經(jīng)商。若單干，每人僅能獲利2元；甲乙合作可獲利6元；甲丙合作可獲利8元；乙丙合作可獲利4元，三人合作則可獲利10元。問三人合作時，怎樣合理地分配10元的收入？
將三企業(yè)的聯(lián)盟記為： ，且有I的特征函數(shù)為：
 
依據(jù)上面的計算法則可得：

（四）、利用D-S證據(jù)理論合成法則進行專家意見合成

證據(jù)理論（或稱 Dempster-Shafer 理論）是從概率論發(fā)展而來的一種樣本空間度量理論，它最早始于 Dempster 關(guān)于上下概率分布簇的研究，Shefer在1976年給出嚴格的數(shù)學理論并指出信任函數(shù)可以表示不確定性知識及其推理。對比經(jīng)典概率論的完整理論體系，證據(jù)理論的兩個基本的證據(jù)度量函數(shù)即信任函數(shù)和似然函數(shù)作為概率函數(shù)的推廣，它們成立的條件弱于概率函數(shù)（不需要了解命題的先驗概率），具有直接表達“不確定性”的能力，對不確定性問題的處理具有更大的靈活性和更廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。
1、D-S證據(jù)理論合成法則
設(shè) 和 是同一識別框架 上的兩個信度函數(shù)， 和 分別是其對應(yīng)的基本可信度分配， 和 的焦元（若 且 ，則稱 為焦元）分別為 和 ，設(shè)： 
那么，由下式定義的函數(shù) 是基本可信度分配
  
其中，記作 
2、實例說明
假設(shè)兩位專家認為某一患者得三種病 的基本概率賦值函數(shù)為：
               
              
我們通過合成法則計算得， 
所以，可得，           
即患者得三種病 的可能值為：

二、上述模型的改進與綜合應(yīng)用

在實際情況中，卻很難找到一個能用單一數(shù)學模型來解決的問題。這樣，就需要我們有分析辨別問題的能力，靈活應(yīng)用數(shù)學模型，才能達到合理解決問題的目的。只有真正掌握了這些模型，才能對其進行綜合應(yīng)用，更好的與實際問題相結(jié)合，達到我們預期的效果。

一、	極值法和期望值法的綜合利用模型

設(shè)一家企業(yè)有 種經(jīng)營方案，且每一種方案有 種收益可能，收益函數(shù)分別為： 。當采用第 種方案時，各種收益的可能性為 ，其中， ，我們可以綜合利用兩種方法進行方案選擇。
利用期望收益的方法，可得第 種方案期望收益為：
  ，  
我們對每一個函數(shù) 進行求導，得到 （ ），
并對各個 （ ）進行升序排列，得到 為所求最大收益值，且對應(yīng)的第 種方案為最優(yōu)選擇方案。
進一步地，如果各個備選方案構(gòu)成一個完備事件組的話，且各個備選方案的概率分別是： 。
那么，這個企業(yè)的期望收益為：
 
如果將問題的描述做如下轉(zhuǎn)化：
我們設(shè)決策者對每一個方案的風險容忍度為： 。此時，備選方案的風險容忍度概率賦值集 可以不是完備事件組的概率賦值，主要用來描述了決策者對每一種方案的風險意識。這樣，各種方案的期望收益分別為： 。
當兩種方案的期望收益相等時，即
 且 。此時，在風險容忍度賦值不變的情況下，我們認為這兩種方案無差異。若有， 增大， 不變，則 ，我們可以稱 為方案 相對于方案 的風險容忍度轉(zhuǎn)折點。兩兩比較，確定各個方案的風險容忍度轉(zhuǎn)折點，我們可以對決策者的風險意識進行靈敏度分析，并且可以劃定每一個方案相對于其他任一方案的風險容忍度可行域。其實，對于單一的期望收益決策法模型，我們也可以做上述的分析。
    
二、D-S證據(jù)理論合成法則的嵌套使用

在很多專家決策問題中，我們不僅僅需要對待決策問題集進行專家評議，并且需要對專家的權(quán)威可信度作出客觀的評價。所以，借鑒層次分析法的思路，我們可以在多個層次上使用D-S合成法則，以便得到更為接近實際情況的決策結(jié)果。即先對專家的權(quán)威度進行評價，然后做為權(quán)重指數(shù)對專家的評價進行修正。這里，我們可以稱之為，D-S證據(jù)理論合成法則的嵌套。
在上面例子的基礎(chǔ)上，如果考慮專家權(quán)威度的話，我們對問題的描述做這樣修改：
假設(shè)兩位專家在五年中對三種病 的誤診率集分別為：
  我們把決策問題集也轉(zhuǎn)化為：｛A病的可能，B病的可能，C病的可能，未知｝，這樣，問題集中加入未知這個元素，會讓問題的描述更為客觀。
    首先，對專家關(guān)于A病的權(quán)威度進行測定。
在已知專家1在五年中的誤診率集情況下，可以把五年中的誤診率認為是另外五位專家對專家1關(guān)于A病誤診率的判斷。這樣的話，就把問題描述為：
       
      
      
      
           
所以，應(yīng)用合成法則，我們可以計算出專家1關(guān)于A病的權(quán)威度為：
 
同理可得，
        
同樣可以計算得，專家2關(guān)于三種病的權(quán)威度為：
               
所以，問題集轉(zhuǎn)化為：
            
           
利用合成法則，得到  
所以，可得，

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