1.
[1]數(shù)學(xué)的發(fā)展與創(chuàng)新思維 數(shù)學(xué)是一種思維方式,表現(xiàn)了人類思維的本質(zhì)和特征。幾何學(xué)的公理化體系具有邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性和對象抽象性從而又具有應(yīng)用廣泛性而素稱思維的體操,這一點已得到大家的 公認(rèn)。
數(shù)學(xué)思維更是當(dāng)前學(xué)術(shù)界的常用詞,它不僅指數(shù)學(xué)中的邏輯思維,還特指與數(shù)學(xué)密切相關(guān)的思維方式。數(shù)學(xué)家將這種思維分為左腦管轄的抽象思維、形式化和公理化,右腦管轄的探索性思維、形象思維和直覺思維。目前正在研究左右腦思維的配合,以期將數(shù)學(xué)發(fā)展成為一種高效率的思維科學(xué)。[2]由此不難發(fā)現(xiàn),如果數(shù)學(xué)科學(xué)家缺乏創(chuàng)新思維,它必阻滯數(shù)學(xué)家發(fā)明或創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)方法、思想和原理,這是千百年來數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律的歷史經(jīng)驗總結(jié)。因此要回答數(shù)學(xué)被發(fā)現(xiàn)還是被發(fā)明就必須來考察數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的一般規(guī)律。 法國著名數(shù)學(xué)家彭加勤在巴黎心理學(xué)會上作過一次著名的演講,在這一講演中,關(guān)于數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的過程,彭加勒曾以自己發(fā)明富克斯群和富克斯函數(shù)理論為例,作過生動的描述。起初,彭加勒對這種函數(shù)冥思苦想想了整整兩個星期,企圖證明它不存在。后來,一天晚上彭加勒說:不同于往常的習(xí)慣,我喝了濃咖啡,因而輾轉(zhuǎn)反復(fù),難以入眠,眾多思維蜂擁而至,我感到了它們不斷地沖突和碰撞,,直到最后,它們一一相連,也就是說,形成了一個穩(wěn)定的組合體。[3] 由此,彭加勒構(gòu)造出了第一類這種函數(shù)。就在 此時,他開始了旅行生活,旅途中他忘掉了數(shù)學(xué)工作。突然在馬車踏板上的一剎那,一個思想突然閃現(xiàn)在他的腦海里,這個思想就是,他用以定義富克斯函數(shù)的變換與非歐幾何變換是等價的。對彭加勒的數(shù)學(xué)創(chuàng)新過程我們可以概括成以下四個階段:(1)準(zhǔn)備階段,這時是有意識的工作,但常常不能得到預(yù)期的結(jié)果;(2)醞釀階段,即暫時丟開手頭工作,而去干些其他事件,或去休息一下子,而無意識思維卻已由此而開動起來;(3)頓悟階段,此時問題的答案或證明的途徑已經(jīng)出乎預(yù)料地突然出現(xiàn)了;(4)整理階段,即將頓悟時所感覺到的那些結(jié)果嚴(yán)格地加以證明,并將其過程精確化,同時又可為下一步研究作好必要的準(zhǔn)備?？梢?數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維是由相互聯(lián)系、相互作用的若干組成部分按一定方式結(jié)合的具有特定功能的有機整體,數(shù)學(xué)創(chuàng)新的四個階段是數(shù)學(xué)認(rèn)識過程的程序化的體現(xiàn)。 世界著名數(shù)學(xué)家、科學(xué)家和哲學(xué)家在其科學(xué)與方一書中認(rèn)為,數(shù)學(xué)直覺并不是每一個人都具有的,有些人或者沒有這種如此難以定義的微妙的感覺,或者沒有超常的記憶力和注意力,因此,他們絕對不可能理解較高級的數(shù)學(xué)。[4]更重要的是,在彭加勒看來,只有超常的記憶力和注意力,而沒有數(shù)學(xué)直覺的人,他們能夠理解數(shù)學(xué),有時還能應(yīng)用數(shù)學(xué),但不能創(chuàng)造數(shù)學(xué);而具有這種特殊的數(shù)學(xué)直覺的人,盡管記憶力和注意力毫無非同尋常之處,他們也能理解數(shù)學(xué),并且可以成為數(shù)學(xué)創(chuàng)造者。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚、王元創(chuàng)立的用數(shù)論方法對多重積分進行數(shù)值計算的著名方法。1958年,王元看到蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家卡拉波夫的一篇論文,該文論述了積分近似計算與蒙特`卡羅方法之關(guān)系,之后他馬上找到華老,華先生一眼看出蒙特`卡羅方法的實質(zhì)就是數(shù)論方法。從此,他們走上了用數(shù)論方法探索對多重積分進行數(shù)值計算的道路。對單重積分由牛頓、車貝契夫、高斯等都做出過杰出貢獻,若將他們的公式推廣到高維情形,則誤差將隨維數(shù)增加而增加,顯然這種方法是行不通的。華王二先生隨即從二重積分入手,想從中找到突破口,他們認(rèn)真分析了卡拉波夫方法的特點:理論較復(fù)雜且適應(yīng)范圍小。對此,他們大膽提出了一種直接的方法,并要快速找出一組點,適應(yīng)范圍盡可能大。根據(jù)華先生的直覺,他認(rèn)為確定計算二重積分的點即平面上的點。用費波那契數(shù)列和黃金分割即可找到,果真如此,王先生根據(jù)華先生的想法,很快就證明出來了,對二重積分的近似計算獲得了一個完美的逼近公式,發(fā)表在1960年的科學(xué)記錄上,至今仍在實際中廣泛應(yīng)用。從以上實例不難看出,華老是直覺型數(shù)學(xué)家,王老是邏輯型數(shù)學(xué)家。確實說明阿達瑪關(guān)于數(shù)學(xué)家之間主要區(qū)別是:有些數(shù)學(xué)家是直覺型的,另一些是邏輯型論述的正確。由此歸結(jié)為探討邏輯思維和直覺思維在數(shù)學(xué)發(fā)展中的職能問題了,邏輯思維是數(shù)學(xué)思維中的主導(dǎo)成份,直覺思維是數(shù)學(xué)創(chuàng)造中的關(guān)鍵因素,是數(shù)學(xué)創(chuàng)新過程中的創(chuàng)造型思維。
二、數(shù)學(xué)既被發(fā)現(xiàn)又被發(fā)明 在創(chuàng)造性階段,直覺起著重要作用。一般而言,直覺是智慧對客體的把握和內(nèi)省,其 表現(xiàn)往往是靈感和頓悟。由于直覺思維凝聚著探索者的觀察力、思考力,故它本身就是一項嚴(yán)肅的科學(xué)活動。而科學(xué)發(fā)現(xiàn)許多時候都得力于頓悟一剎那間閃現(xiàn)出的靈光,所以它也是發(fā)明的藝術(shù)、創(chuàng)造的前奏。例如上例中彭加勒發(fā)明富克斯群和富克斯函數(shù)。數(shù)學(xué)直覺思維,就是直覺空間對知識空間的作用。該作用一般地說主要表現(xiàn)在兩個方面:一是在知識的發(fā)現(xiàn)方面,面對一些數(shù)學(xué)事實,通過直覺的猜測、想象活動,概括出新命題,這便是直覺歸納問題。一是在知識的證實方面,對于數(shù)學(xué)問題或猜想出的命題進行解決和證明,這雖然是邏輯論證的事,但是沒有直覺的指引和參與似乎是難以完成的,這便是直覺論證問題。在這個發(fā)現(xiàn)過程中也包含了發(fā)明因素,體現(xiàn)了直覺的發(fā)明功能,然而不管是什么方面的作用,當(dāng)我們把歸納和論證都看成是對某個問題的解決時,這些作用便可概括成為直覺思維在數(shù)學(xué)發(fā)明上的創(chuàng)造功能。 徐利治先生是我國著名數(shù)學(xué)家,他在數(shù)學(xué)研究中,常常借助于由經(jīng)驗獲得的直觀能力,以猜想的方式去探索某些可能取得的成果,例如1964年他在吉林大學(xué)任教期間,一度對超越方程求實根問題發(fā)生了興趣,研究目標(biāo)是希望能找到無需估算初值的大范圍收斂迭代法。他想到歐拉在尋求著名的級數(shù)和 1+1/22+1/32+,+1/n2+,=P2 /6 時,曾把正弦函數(shù)的冪級數(shù)展開式大膽地看成為無限次多項式,從而通過類比法得到了正弦函數(shù)的因式分解的無窮乘積公式,最后再把乘積展開后與冪級數(shù)三次冪比較系數(shù),便成 功地解決了雅谷柏努利的級數(shù)求和難題,得到了級數(shù)1+1/22+1/32+,+1/n2 +,之和 受歐拉思想方法的重要啟示,使徐利治先生聯(lián)想到拉蓋耳迭代公式中的參數(shù)n應(yīng)能令它趨向于]而獲得適用于超越方程的迭代方法。再由觀察立即看出當(dāng)時拉氏公式的繼續(xù)保持合理意義,這樣,他便猜到了一個可用以求解超越方程的大范圍收斂迭代法。最后,應(yīng)用整函數(shù)論里的阿達瑪因式定理,果然證明了上述方法的大范圍收斂性。 另一方面,許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)家都傾向于承認(rèn)數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué),數(shù)學(xué)展現(xiàn)的是世界所應(yīng)服從的模式之間的關(guān)系,所以從遠古時期第一個整數(shù)概念形成時開始,綿延至今的數(shù)學(xué)就一直使用邏輯思維去思考自己的對象,為了使數(shù)學(xué)能向更高的抽象方向發(fā)展,人類便必須采取最可靠的推理方式,除了保證自己的結(jié)果準(zhǔn)確無誤以外,它還要保證自己能夠脫離物理世界而能最終符合世界。這個推理就是邏輯演繹。從這一點上說,數(shù)學(xué)只能被邏輯發(fā)現(xiàn),特別是當(dāng)某些猜測被邏輯證明出來時,那個數(shù)學(xué)結(jié)果好像早就存在于那里一樣,這時數(shù)學(xué)應(yīng)該說是被發(fā)現(xiàn)出來。 錢學(xué)森先生在其大作關(guān)于思維科學(xué)一文中說:如果邏輯思維是線性的,形象思維是二維的,那么靈感思維好像是三維的。總而言之,在數(shù)學(xué)創(chuàng)新中,既需要邏輯思維,也需要直覺思維和靈感思維,而且只有將三者有機地結(jié)合起來,才能成為創(chuàng)造數(shù)學(xué)新成果的源泉。邏輯思維是數(shù)學(xué)思維中的主導(dǎo)成份,嚴(yán)密的邏輯推理是建構(gòu)數(shù)學(xué)理論體系的最重要的階段。是幾千年來數(shù)學(xué)采用的生長知識最成功的一種理性方式,最為典型的屬歐幾里的模式,這種模式即公理化方法,它通過事先選定的一組術(shù)語和確定它們特征的一組公理作基礎(chǔ),運用演繹邏輯的力量,以一系列定理證明的方式展現(xiàn)、研究、發(fā)展數(shù)學(xué)知識,這種模式融研究和整理于一體。充分體現(xiàn)了邏輯演繹的發(fā)現(xiàn)功能。 再次,從數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)看,它早已被人們確認(rèn)是科學(xué),但是數(shù)學(xué)科學(xué)與其他自然科學(xué)相比,有其獨特的品性,它是抽象思維建構(gòu)出來的模式,并且可以進行一系列的模式運算。在信息化、高科技時代的今天,人們越來越認(rèn)識到,數(shù)學(xué)不僅是科學(xué),而且還是技術(shù)(數(shù)學(xué)技術(shù))。美國科學(xué)院院士J.Glimm說:數(shù)學(xué)對經(jīng)濟競爭力至為重要,數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的普遍適用的,并授予人以能力的技術(shù)著名數(shù)學(xué)家王梓坤院士認(rèn)為:數(shù)學(xué)兼有科學(xué)與技術(shù)兩種品質(zhì),這是其他學(xué)科所難的,不可不知?？茖W(xué)與技術(shù)是有區(qū)別的,科學(xué)講求要有所發(fā)現(xiàn),目標(biāo)是追求真理,探索和發(fā)現(xiàn)客觀存在,是建構(gòu)關(guān)于自然的知識體系,即通常所說的認(rèn)識自然。而技術(shù)講求要有所發(fā)明,是改造自然的活動,即通常所說的關(guān)于人們做什么和怎樣做的方法和手段,具有強烈的功利主義色彩,其目標(biāo)是設(shè)計和發(fā)明自然狀態(tài)中本不存在,但卻為人所需要的過程、程序、裝置和產(chǎn)品(追求有效性)。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)建立在公理集合論的基礎(chǔ)上,但絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家研究的是群、開集等定義在集合論上的結(jié)構(gòu)以及層層定義在它們之上的概念和對象,亦正是這些概念和結(jié)構(gòu)的引入,決定了數(shù)學(xué)大廈的整體形象,開辟了常規(guī)數(shù)學(xué)研究的場所,決定了數(shù)學(xué)發(fā)展的總方向。這種引入新的數(shù)學(xué)概念和結(jié)構(gòu)的富于開創(chuàng)性的工作可以看作一種發(fā)明,在引入了一組概念從而定義了一組抽象結(jié)構(gòu)以后,數(shù)學(xué)工作的中心就變成了弄清這些結(jié)構(gòu)的主要特征,這可以比作發(fā)現(xiàn)的過程。這個過程一般又分提出命題(猜想)和證明命題兩步來完成,這兩步工作中,最重要的是提出深刻的猜想,從而計劃好弄清整個結(jié)構(gòu)的最佳路線,證明這些猜想，則是實際去走這條路,一般而言是基礎(chǔ),也是較缺乏創(chuàng)造性的工作。[8] 三、數(shù)學(xué)與真理 史寧中教授的命題在最后追加了一句:/并且請注意到,真理是只能被發(fā)現(xiàn)而不能被發(fā)明的。這句話正是本命題獨到而深刻之所在,它一針見血地引出了數(shù)學(xué)與真理之關(guān)系。所以要回答這一命題,不得不對有關(guān)數(shù)學(xué)與真理之關(guān)系作一定的探討,本文無意于全面研究數(shù)學(xué)與真理的關(guān)系,只想對當(dāng)前存在的幾種傾向,即數(shù)學(xué)=真理這種認(rèn)識誤區(qū)作些探討。 根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)的工作最早可追溯到古希臘哲學(xué)家柏拉圖。多少年來很多數(shù)學(xué)哲學(xué)家作了許多有益的探討,有的認(rèn)為數(shù)學(xué)是處于感性認(rèn)識過渡到理性。康德認(rèn)為數(shù)學(xué)是先天綜合判斷,康德之后,數(shù)學(xué)發(fā)展進入一個新時期,它的重要特點是公理化傾向,這一趨勢使大多數(shù)數(shù)學(xué)家形成了數(shù)學(xué)是一門演繹的科學(xué)。 拉卡托斯為了避免數(shù)學(xué)演繹論與經(jīng)驗的片面性,從分析數(shù)學(xué)理論的結(jié)構(gòu)入手,提出了數(shù)學(xué)是一門擬經(jīng)驗科學(xué)。[9] 林夏水先生認(rèn)為:數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)(其中-演.表示演繹,-算.表示計算或算法,-演算.表示演算這對矛盾的對立統(tǒng)一)。[10]還有人認(rèn)為:數(shù)學(xué)是思維,數(shù)學(xué) 是猜測。 [11]關(guān)于這方面的論述還有很多,這些概括都有一定的道理,對理解數(shù)學(xué) 的本質(zhì)提供有益的幫助。本文不再一一列出。在我國的數(shù)學(xué)和哲學(xué)工作者中有人認(rèn)為,或至少潛意識地認(rèn)為,數(shù)學(xué)=正確,數(shù)學(xué)=真理,即把正確和真理看成是數(shù)學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)進步的標(biāo)準(zhǔn)。在這樣一種觀點的導(dǎo)引下,自然而然地產(chǎn)生了一種錯誤的認(rèn)識:數(shù)學(xué)的進步就被看成是隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,它越來越正確,越來越接近真理,為什么這么說呢? 首先,從邏輯上講,如果說數(shù)學(xué)的進步表示它越來越正確或越來越接近真理,那么首先必須知道有一個終極的代表絕對正確或絕對真理的標(biāo)準(zhǔn)存在,然而這一標(biāo)準(zhǔn)不僅是不存在的,而且即使存在我們也不知道它究竟在哪兒,因此我們無法斷定,隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,它究竟是越來越接近,還是越來越遠離真理。 其次,從數(shù)學(xué)的真理性看,從羅巴切夫斯基空間開始只具備邏輯推理上的無矛盾性,但后來終究發(fā)現(xiàn)了它的直觀模型,并在相對論中得到了應(yīng)用,這就是說,一個數(shù)學(xué)的真理性問題,一個數(shù)學(xué)結(jié)論,只要它在邏輯推理中無矛盾性是應(yīng)該承認(rèn)它的真理性的。至于能否得到實踐的驗證,還有時間條件問題,即使假定有些結(jié)論永遠也不能用到實踐中,那么只要它是整個數(shù)學(xué)科學(xué)有機體上一個不可缺少的組成部分,也不應(yīng)該否定它的真理性。而有些結(jié)論,開始在邏輯結(jié)構(gòu)上并不那么嚴(yán)格,但在實踐中得到了有效應(yīng)用,也應(yīng)該承認(rèn)其真理性。歐氏幾何在理論上并不嚴(yán)格,甚至出現(xiàn)把任意三角形證明為等腰三角形的謬誤,但它在應(yīng)用上是有效的,因而它是真理。而它理論上的不嚴(yán)格最終也被希爾伯特解決了。通過以上事實我們可以說,邏輯上的無矛盾性和實踐中的有效性都可以作為判斷數(shù)學(xué)結(jié)論的真理性的標(biāo)準(zhǔn)。[12]這正是數(shù)學(xué)與真理的本質(zhì)區(qū)別,所以說,我們對數(shù)學(xué)的最大誤解莫過于把數(shù)學(xué)看作是真理,誤認(rèn)為數(shù)學(xué)的結(jié)論只能靠邏輯嚴(yán)謹(jǐn)推理得到,從而追求絕對的真理和真心求理的內(nèi)功路向,這可能也是我們的數(shù)學(xué)工作者不敢大膽提出自己科學(xué)假說(或叫猜想)的最主要原因。 總之,邏輯推理在數(shù)學(xué)中的作用是雙重和互補的,它既是數(shù)學(xué)追求的目標(biāo),又是數(shù)學(xué)為達到目標(biāo)而采用的手段。 由以上討論我們不難看出,數(shù)學(xué)這一研究模式的科學(xué),由于模式客觀性和現(xiàn)實客觀性的統(tǒng)一,使數(shù)學(xué)兼具發(fā)現(xiàn)和發(fā)明兩種特性,正是這兩種特性使數(shù)學(xué)在獲得模式真理性的同時也就自動在某種意義上獲得了現(xiàn)實真理性,并最終使這兩種真理性達到完全一致,檢驗數(shù)學(xué)真理性的標(biāo)準(zhǔn)既可以是邏輯上的無矛盾性也可以是實踐中的有效性,而通常意義下的真理其檢驗標(biāo)準(zhǔn)只能正如鄧小平同志的名言:實踐是檢驗真理的惟一標(biāo)準(zhǔn)。因此，數(shù)學(xué)既能發(fā)現(xiàn)又能發(fā)明,真理只能發(fā)現(xiàn)而不能發(fā)明。

在中國古代，按所提出的宇宙模式的不同，天文學(xué)共有3家學(xué)說，“蓋天說”是其中之一，而《周髀算經(jīng)》是“蓋天說”的代表。這派學(xué)說主張：天像蓋笠，地法覆盆（天空如斗笠，大地像翻扣的盆）。
據(jù)考證，現(xiàn)傳本《周髀算經(jīng)》大約成書于西漢時期（公元前1世紀(jì)）為趙君卿所作，北周時期甄鸞重述，唐代李淳風(fēng)等注。歷代許多數(shù)學(xué)家都曾為此書作注，其中最著名的是唐李淳風(fēng)等人所作的注?！吨荀滤憬?jīng)》還曾傳入朝鮮和日本，在那里也有不少翻刻注釋。
從所包含的數(shù)學(xué)內(nèi)容來看，書中主要講述了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法、用勾股定理來計算高深遠近和比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計算等。
書中有矩(一種量直角、畫矩形的工具)的用途，勾股定理及其在測量上的應(yīng)用，相似直角三角形對應(yīng)邊成比例定理等數(shù)學(xué)內(nèi)容．
在《周髀算經(jīng)》中還有開平方的問題，等差級數(shù)的問題,使用了相當(dāng)繁復(fù)的分?jǐn)?shù)算法和開平方法,以及應(yīng)用于古代的“四分歷”計算的相當(dāng)復(fù)雜的分?jǐn)?shù)運算．還有相當(dāng)繁雜的數(shù)字計算和勾股定理的應(yīng)用。

又如《九章算術(shù)》確定了中國古代數(shù)學(xué)的框架，以計算為中心的特點，密切聯(lián)系實際，以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題為目的的風(fēng)格。其影響之深，以致以后中國數(shù)學(xué)的作大體采取兩種形式：或為之作注，或仿其體，例著書；甚至西算傳入中國之后，人們著書立說時還常常把包括西算在內(nèi)
的數(shù)學(xué)知識納入九章的框架。 然而，《九章算術(shù)》亦有其不容忽視的缺點：沒有任何數(shù)學(xué)概念的定義，也沒有給出任何推導(dǎo)和證明。魏景元四年（263年），劉徽給《九章算術(shù)》作注，才大大彌補了這個缺陷。
劉徽是中國數(shù)學(xué)家之一。他的生平知之甚少。據(jù)考證，他是山東鄒平人。劉徽定義了若干數(shù)學(xué)概念，全面論證了《九章算術(shù)》的公式解法，提出了許多重要的思想、方法和命題，他在數(shù)學(xué)理論方面成績斐然。
劉徽對數(shù)學(xué)概念的定義抽象而嚴(yán)謹(jǐn)。他揭示了概念的本質(zhì)，基本符合現(xiàn)代邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)對概念定義的要求。而且他使用概念時亦保持了其同一性。如他提出凡數(shù)相與者謂之率，把率定義為數(shù)量的相互關(guān)系。又如他把正負數(shù)定義為今兩算得失相反，要令正負以名之，擺脫了正為余，負為欠的原始觀念，從本質(zhì)上揭示了正負數(shù)得失相反的相對關(guān)系。

《九章算術(shù)》的算法盡管抽象，但相互關(guān)系不明顯，顯得零亂。劉徽大大發(fā)展深化了中算中久已使用的率概念和齊同原理，把它們看作運算的綱紀(jì)。許多問題，只要找出其中的各種率關(guān)系，通過乘以散之，約以聚之，齊同以通之，都可以歸結(jié)為今有術(shù)求解。
一個平面（或立體）圖形經(jīng)過平移或旋轉(zhuǎn)，其面積（或體積）不變。把一個平面（或立體）圖形分解成若干部分，各部分面積（或體積）之和與原圖形面積（或體積）相等。基于這兩條不言自明的前提的出入相補原理，是中國古代數(shù)學(xué)進行幾何推演和證明時最常用的原理。劉徽發(fā)展了出入相補原理，成功地證明了許多面積、體積以及可以化為面積、體積問題的勾股、開方的公式和算法的正確性。