王廣亮
中國石化安全工程研究院，青島266071
3故障樹定性分析
    故障樹分析，包括定性分析和定量分析兩種方法。在定性分析中，主要包括最小割集、最小徑集和重要度分析。限于篇幅，以下僅介紹定性分析中的最小割集和最小徑集。
3．1最小割集及其求法
    割集：它是導(dǎo)致頂上事件發(fā)生的基本事件的集合。最小割集就是引起頂上事件發(fā)生必須的最低限度的割集。最小割集的求取方法有行列式法、布爾代數(shù)法等。現(xiàn)在，已有計(jì)算機(jī)軟件求取最小割集和最小徑集。以下簡要介紹布爾代數(shù)化簡法。圖8—9為一故障樹圖，以下是用布爾代數(shù)化簡的過程。
 
T=A1+A2
= X1 X2A3+X4A4
= X1X2(X1+X3)+X4(X5+X6)
= X1 X2A1+Xl X2A3+ X4X5+X4X6
= X1 X2+ X4X5+X4X6
所以最小割集為{X1，X2}，{X4，X5}，{X4，X6}。結(jié)果得到三個(gè)交集的并集，這三個(gè)交集就是三個(gè)最小割集El={Xl，X2}，E2={X4，X5}，E 3：{X4，X6}。用最小割集表示故障樹的等效圖如圖8—1O。
 
3．2最小徑集及其求法
徑集：如果故障樹中某些基本事件不發(fā)生，則頂上事件就不發(fā)生，這些基本事件的集合稱為徑集。最小徑集：就是頂上事件不發(fā)生所需的最低限度的徑集。
最小徑集的求法是利用它與最小割集的對(duì)偶性。首先作出與故障樹對(duì)偶的成功樹，即把原來故障樹的與門換成或門，而或門換成與門，各類事件發(fā)生換成不發(fā)生，利用上述方法求出成功樹的最小割集，再轉(zhuǎn)化為故障樹的最小徑集。
例：將上例中故障樹變?yōu)槌晒溆肨’、A’l、A’2、A’3、A’4、X’l、X’2、X’3、X’4、X’5、X’6表示事件T、Al、A2 A3、A4、Xl、X2、X3X， 、X 、X 的補(bǔ)事件，即成功事件；邏輯門作相應(yīng)轉(zhuǎn)換，如圖8—11。

用布爾代數(shù)化簡法求成功樹的最小割集：
T’= A’l ·A’2
= (X’l+A’3+X’2)·(X’4+A’4)
= (X’l+X’2+X’l X’3)·(X’4+X’5 X’6)
= (X’l+X’2)·(X’4+X’5X’6)
=X’lX’4+ X’lX’5X’6+X’2X’4+ X’2X’5X’6
成功樹的最小割集：{X’。，X’ ){X’。，X’，，X’ )
{X’ ，X’ ){X’2，X’5，X’6)。
即故障樹的最小徑集：
Pl={Xl，X4) P2={XI，X5，X6)
P3={X2，X4) P4={X2，X5，X6)
如將成功樹布爾化簡的最后結(jié)果變換為故障樹結(jié)構(gòu)，則表達(dá)式為T=(Xl+x4)(xl+x5+x6)(x2+x4)(x2+X5+X6)形成了四個(gè)并集的交集，如用最小徑集表示故障樹則如圖8一l2所示。

3．3最小割集和最小徑集在故障樹分析中的應(yīng)用
(1)最小割集表示系統(tǒng)的危險(xiǎn)性
求出最小割集可以掌握事故發(fā)生的各種可能，了解系統(tǒng)的危險(xiǎn)性。
每個(gè)最小割集都是頂上事件發(fā)生的一種可能，有幾個(gè)最小割集，頂上事件的發(fā)生就有幾種可能，最小割集越多，系統(tǒng)越危險(xiǎn)。
從最小割集能直觀地、概略地看出，哪些事件發(fā)生最危險(xiǎn)，哪些稍次，哪些可以忽略，以及如何采取措施，使事故發(fā)生概率下降。
例：共有三個(gè)最小割集{X1)、{X2，X3)、{X4，X5，X6，X7，X8)，如果各基本事件的發(fā)生概率都近似相等的話，一般地說，一個(gè)事件的割集比兩個(gè)事件的割集容易發(fā)生，五事件割集發(fā)生的概率更小，完全可以忽略。
因此，為了提高系統(tǒng)的安全性，可采取技術(shù)、管理措施以便使少事件割集增加基本事件。就以上述三個(gè)最小割集的故障樹為例?？梢越o一事件割集{X1)增加一個(gè)基本事件X ，例如：安裝防護(hù)裝置或采取隔離措施等，使新的割集為{X1、X9)。這樣就能使整個(gè)系統(tǒng)的安全性提高若干倍，甚至幾百倍。若不從少事件割集人手，采取的措施收效不大。
假設(shè)上述例中各事件概率都等于0．0l，即qI=q2 q3=q4 q5 q6=q7 q8 q9=0．01。
在未增加X 以前頂上事件發(fā)生的概率約為0．0101，而增加X9后概率近似為0．0002，使系統(tǒng)安全性提高了5O倍，在可靠性設(shè)計(jì)中常用的冗長技術(shù)就是這個(gè)道理。注意，以上是各事件概率相等時(shí)采取的措施。采取防災(zāi)措施必須考慮概率因素，若X，的發(fā)生概率極小，就不必考慮{X1)了。
(2)最小徑集表示系統(tǒng)的安全性
求出最小徑集可以了解到，要使頂上事件不發(fā)生有幾種可能的方案，從而為控制事故提供依據(jù)。一個(gè)最小徑集中的基本事件都不發(fā)生，就可使頂上事件不發(fā)生。故障樹中最小徑集越多，系統(tǒng)就越安全。
從用最小徑集表示的故障樹等效圖可以看出，只要控制一個(gè)最小徑集不發(fā)生，頂上事件就不發(fā)生，所以可以選擇控制事故的最佳方案，一般地說，對(duì)少事件最小徑集加以控制較為有利。
(3)利用最小割集、最小徑集進(jìn)行結(jié)構(gòu)重要度分析。
(4)利用最小割集、最小徑集進(jìn)行定量分析和計(jì)算頂上事件的概率等。